Евклидова геометрия

Достижения Евклида

Достижения Евклида имели огромное значение для мировой истории, математики и других наук.

Он был первым, кто:

• систематизировал известные труды предшественников в единый сборник из 13 книг;
• создал 5 постулатов НОД и 5 аксиом в области геометрии;
• охарактеризовал все известные геометрические фигуры, дал понятие кривым линиям, коническим сечениям и другим явлениям;
• создал трактат по ошибкам при изучении и создании геометрических доказательств;
• доказал практическое использовании математики при изучении звезд, небесных тел, космоса и других наук;
• изучил свет с законами его распространения;
• изучил зеркала и способности преломления в них световых лучей;
• создал простейшую теорию в области музыки;
• создал постулаты и формулы по механики и определил удельный вес тел.

Математика

Евклид — отец математики. Он сформулировал теоремы по планиметрии, упростил понимание теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника, прописал свойства правильных многоугольников и законы построения правильных пятнадцатиугольников, указал, как применима алгебры в жизни и каковы ее основные теории, вписал теорию о целом и рациональном числе, рассмотрел квадратичную иррациональность, заложил основы стереометрической науки, доказал теоремы, касающиеся площади круга с объемом шара, вывел отношение объема пирамид с конусами, призмами и цилиндрами.

Другие науки

Помимо математики, ученый работал с оптикой, астрономией, логикой и музыкой. Так, в оптике он дал сведения об оптической перспективе, зеркальных искажениях и отражениях световых лучей в зеркале.

Интересные факты из жизни

Несколько любопытных фактов из биографии Евклида:

1. Самый древний известный математический трактат принадлежит Евклиду.
2. До сих пор нет данных о месте рождения и смерти великого ученого. Однако известно место занятий Евклида примерно 2400 лет назад и место его нахождения — Александрия. Интересно, что этот городок сегодня — второй по размерам в Египте после Каира;
3. Евклид смог создать 4 книжки по коническому виду сечений.
4. Фундаментальный труд «Начала» считается настолько важным для науки, что до сих пор его используют в жизни. Интересно, что есть другие публикации с подобным наименованием, но самый популярный — труд Евклида».
5. С самой юности Евклид обучался у именитого ученого Платона, обучавшего Аристотеля в Древней Греции. Сам же Платон обучался у Сократа.
6. По традиции геометрия сегодня носит название этого ученого.
7. Есть легенда, что когда один раз ученик величайшего математика спросил у него, как геометрия может помочь ему в жизни, то Евклид дал ему денег и прогнал с занятий.
8. Евклид до сих пор считается автором многочисленных книг, чье авторство не было подтверждено. Это разные труды, к примеру, публикации по музыке, философии и медицине. Официально известно, что великий ученый сделал открытие в оптических и астрономических областях.
9. Сегодня признают римановскую, лобачевскую и евклидову геометрию. Последняя — самая традиционная и часто используемая.
10. В первый раз евклидовский труд перевели в конце восемнадцатого века. При этом «Начала» впервые были переведены на армянский язык в одиннадцатом веке.
11. Любимая фраза: «Нет царского пути в геометрии».

В целом, Евклид является отцом геометрии, и он не случайно так называется. Он первым сделал сложное понятным и дал толчок развитию естественных наук. Его книги неоценимы по значимости и применяются сегодня в области математических и геометрических наук во всем мире.

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физической космологии, введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время, в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое пространство трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей « и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e a j может представлять пространственно-временное событие в один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Кроме того, умножение на z равносильно преобразованию лоренцевского буста кадра с нулевой скоростью в кадр с быстротой а .

Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:
zзнак равноИкс+уϵ,ϵ2знак равно,{\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}Икс′знак равноИкс+vт,т′знак равнот{\ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}

(Икс′т′)знак равно(1v1)(Икст).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ t’ \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}

С двойными числами отображение т′+Икс′ϵзнак равно(1+vϵ)(т+Иксϵ)знак равнот+(Икс+vт)ϵ.{\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был предложен Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в Трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическую геометрию предпосылок. и отчисления.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор v{\displaystyle \mathbf {v} }, переводящий точку p{\displaystyle \mathbf {p} } в точку p+v{\displaystyle \mathbf {p+v} }. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию QTQ=E{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}, где QT{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}} — транспонированная матрица, а E{\displaystyle E} — единичная матрица.

Обобщения

Если вы рассматриваете матрицу с действительными или комплексными элементами как соответственно длинный вектор, евклидова норма также может быть определена для матриц и тогда называется нормой Фробениуса . Евклидова норма также может быть обобщена на бесконечномерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, а затем частично имеет свои собственные имена. Наиболее важные обобщения заключаются в следующем.

ℓ 2 стандартных

является обобщением евклидовой нормы в пространстве последовательностей квадратично суммируемых последовательностей . Вот только конечная сумма заменяется на Бесконечного и ℓ 2 норма затем дается как
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}} (ап)п∈KN{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ in {\ mathbb {K}} ^ {\ mathbb {N}}}

‖(ап)‖ℓ2знак равно(∑пзнак равно1∞|ап|2)12{\ displaystyle \ | (a_ {n}) \ | _ {\ ell ^ {2}} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ справа) ^ {1/2}}.

Пространство является гильбертово пространство со скалярным произведением двух последовательностей
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}}

⟨(ап),(бп)⟩ℓ2знак равно∑пзнак равно1∞ап¯⋅бп{\ displaystyle \ left \ langle \, (a_ {n}), (b_ {n}) \, \ right \ rangle _ {\ ell ^ {2}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ overline {a_ {n}}} \ cdot b_ {n}}.

L 2 стандарт

Кроме того, евклидова норма может быть обобщена на функциональное пространство функций, интегрируемых на множестве квадратично , что происходит в два этапа. Во-первых, -норма является квадратичной интегрируемой по Лебегу функцией при
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)} Ω{\ displaystyle \ Omega}Л.2{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}жΩ→K{\ Displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ rightarrow {\ mathbb {K}}}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно(∫Ω|ж(Икс)|2dИкс)12{\ Displaystyle \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | е (х) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {1/2}},

определяется, в результате чего по сравнению с ℓ 2 нормы только сумма была заменена интегралом. Изначально это только полунорма , поскольку не только нулевая функция, но и все функции, которые отличаются от нулевой функции только в терминах набора с нулевой мерой Лебега, интегрируются в ноль

Поэтому, принимая во внимание количество классов эквивалентности функций , которые почти везде одинаковы, и получает на этом L -пространстве L нормы по
ж∈Л.2(Ω){\ Displaystyle \ в L ^ {2} (\ Omega)}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно‖ж‖Л.2(Ω){\ Displaystyle \ | \, \, \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} }.

Пространство представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением двух функций
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

⟨ж,г⟩Л.2(Ω)знак равно∫Ωж(Икс)¯⋅г(Икс)dИкс{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L_ {2} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} {\ overline {f (x)}} \ cdot g (x) \, dx}.

Его также можно обобщить с меры Лебега на общие меры .

Общие векторные пространства

В более общем смысле евклидова норма может быть определена в любых бесконечномерных векторных пространствах через связанный базис Гамеля . Если такая Хамель основа имеет , где множество индексов , то каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации с коэффициентами (здесь лишь конечное число коэффициентов могут отличаться от 0). Евклидова норма вектора тогда определяется какV{\ displaystyle V}{Икся}я∈Я.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} _ {я \ in I}}V{\ displaystyle V}Я.{\ displaystyle I}v∈V{\ displaystyle v \ in V} vзнак равно∑я∈Я.аяИкся{\ displaystyle \ textstyle v = \ sum _ {я \ in I} a_ {i} x_ {i}}ая∈K{\ displaystyle a_ {i} \ in {\ mathbb {K}}}ая{\ displaystyle a_ {i}}

‖v‖2знак равно(∑я∈Я.|ая|2)12{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | a_ {i} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

и тем самым из скалярного произведения

⟨v,ш⟩знак равно⟨∑я∈Я.аяИкся,∑я∈Я.бяИкся⟩знак равно∑я∈Я.а¯ябя{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} x_ {i}, \ sum _ {i \ in I} b_ {i} x_ {i} \ right \ rangle: = \ sum _ {i \ in I} {\ bar {a}} _ {i} b_ {i}}

индуцированный для векторов .
v,ш∈V{\ displaystyle v, w \ in V}

Иногда норма, индуцированная произвольным скалярным произведением на вещественном пространстве скалярных произведений, также называется евклидовой нормой.

Н. г. в плане дифференциальной геометрии[править | править код]

В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:

Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:

а для плоскости Римана

R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет).При замене R на

RiR_i

метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R равном бесконечности каждое из равенств (8) и (9) даёт

то есть метрическую форму евклидовой плоскости.

Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну. Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, то есть возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R², пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R² (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

Н. г. в виде проективных моделей[править | править код]

Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а

Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3)
и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например

Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С. В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.

Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.

Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта

то есть относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3=x_3 = 0
, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3=x_3 = 0
. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.
Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.

Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.

Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей.

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами  : С = {( х, у ): х , у ∈ ℝ}. Эти точки иногда идентифицированы с комплексными числами г = х + у е , где ε 2 ∈ {-1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε 2 = −1, поскольку модуль z определяется выражением

zz*знак равно(Икс+уϵ)(Икс-уϵ)знак равноИкс2+у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}

и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε 2 = +1 , тогда z является комплексным числом с разбиением и обычно j заменяет эпсилон. потом

zz*знак равно(Икс+уj)(Икс-уj)знак равноИкс2-у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}

и { z | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда ε 2 = 0 , то z — двойственное число .

Такой подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. В самом деле, каждое из них возникает в комплексного числа z .

Примеры

Евклидова норма действительного вектора равна
vзнак равно(3,-2,Шестой)∈Р.3{\ Displaystyle v = (3, -2,6) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}

‖v‖2знак равно32+(-2)2+Шестой2знак равно9+4-й+36знак равно49знак равно7-е{\ Displaystyle \ | v \ | _ {2} = {\ sqrt {3 ^ {2} + (- 2) ^ {2} + 6 ^ {2}}} = {\ sqrt {9 + 4 + 36} } = {\ sqrt {49}} = 7}.

Евклидова норма комплексного вектора равна
vзнак равно(3,я,5-я)∈С.3{\ Displaystyle v = (3, я, 5-я) \ in \ mathbb {C} ^ {3}}

‖v‖2знак равно|3|2+|я|2+|5-я|2знак равно9+1+26-езнак равно36знак равноШестой{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = {\ sqrt {| 3 | ^ {2} + | i | ^ {2} + | 5-i | ^ {2}}} = {\ sqrt {9 + 1 + 26}} = {\ sqrt {36}} = 6}.

Псевдо-Евклид

Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (лат. Sectio canonis). Традиция приписывать «Деление канона» Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинных рукописях «Гармоники» авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду, а также александрийскому математику Паппу. Генрих Мейбомrude (1555—1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и вместе с «Делением канона» приписал их к трудам Евклида.

При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например, отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку содержит теоремы и доказательства.

После критической публикации «Гармоники» знаменитым немецким филологом Карлом Яном (1836—1899) этот трактат стали повсеместно приписывать Клеониду и датировать II в. н.э. В русском переводе (с комментариями) его впервые издал Г. А. Иванов (Москве, 1894). «Деление канона» ныне одна часть исследователей считает аутентичным сочинением Евклида, а другая — анонимным сочинением в традициях Евклида. Последние по времени русские переводы «Деления канона» опубликованы (в версии Порфирия) В.Г.Цыпиным и (в версии Боэция) С.Н.Лебедевым. Критическое издание оригинального текста «Деления канона» выполнил в 1991 г. А.Барбера.

• Назад

• Вперёд

Добавить комментарий

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Аксиоматика

Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так,
чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана следующая система аксиом:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого,
но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша, которая не может быть выведена из постулатов Евклида.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии.
Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

• аксиоматика Александрова;
• аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие;
• аксиоматика Тарского.

Аксиоматизация[править | править код]

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. В «Началах» Евклида утверждения, принимаемые без доказательства, назывались постулатами и аксиомами. В чём заключался принцип разделения основных положений на два списка, то это осталось невыясненным.Постулаты:

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтобы все прямые углы были равны между собой.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И совмещающие равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.

Примечание: Принадлежность некоторых из аксиом именно Евклиду (4-я, 5-я, 6-я и 9-я) берётся под сомнение, возможно переписчики добавили их позже. В некоторых списках «Начал» четвёртый и пятый постулат относили к числу аксиом, потому пятый постулат иногда называют одиннадцатой аксиомой.

В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии.
Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным. Кроме Гильбертовой, существуют и другие системы аксиом евклидовой геометрии (А. В.Погорелова, А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова и др.). Особо здесь можно отметить систему аксиом Вейля, основанную на понятии вектора

Вымысел

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона» . Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как идентифицируются противоположные точки на сфере в модели эллиптической плоскости. По сюжету посреди грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем HMS Fulmar у острова Антиподы .
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием писателя ужасов ХХ века Л. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи следуют своим собственным уникальным законам геометрии: в « Мифах о Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р’льех характеризуется неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто смотрит на нее.
• Главный герой романа Роберта Пирсига « Дзен и искусство ухода за мотоциклами» неоднократно упоминал риманову геометрию.
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• Роман Кристофера Приста « Перевернутый мир» описывает борьбу жизни на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• Роберт Хайнлайн в своей книге « Число зверя» использует неевклидову геометрию для объяснения мгновенного переноса в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• HyperRogue от Zeno Rogue — это игра в жанре roguelike, действие которой разворачивается на гиперболической плоскости , позволяя игроку испытать многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии.
• В Renegade Legion научной фантастики настройки для ФАЗА «s Wargame , ролевые игры-игры и вымысла, быстрее чем свет путешествия и связи возможно за счет использования Се Хо Polydimensional неевклидовой геометрии, опубликованной когда — то в середине 22 век.
• В Флаттерленде» Яна Стюарта главный герой Виктория Лайн посещает самые разные неевклидовы миры.

Обобщение для более высоких измерений

Как аналитическая геометрия, евклидова геометрия может быть легко обобщена для любого (также бесконечного) числа измерений.

В дополнение к прямым линиям и плоскостям существуют линейные наборы точек более высоких измерений, которые называются гиперплоскостями. (В некотором смысле более узкого, гиперплоскость в n — мерного пространства , как «большая» , насколько это возможно, то есть, мерное подпространство.)
п{\ displaystyle n}(п-1){\ Displaystyle (п-1)}

Количество размеров не ограничено и не обязательно должно быть конечным. Для каждого кардинального числа a может быть определено евклидово пространство размерности.

Комнаты с более чем тремя измерениями принципиально недоступны нашему воображению. Они также не были созданы с целью изобразить человеческий опыт космоса. Подобно неевклидовых геометрий, ссылки на теоретической физики были также найдены здесь: Пространство — в специальной теории относительности может быть представлена в виде четырехмерного пространства. В современной космологии есть объяснительные подходы со значительно большей размерностью.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Похожие записи

Сонник беременная подруга Как сочетается короткая челка с длинными волосами Сонник к чему снится говно в унитазе Иван тургенев Шура Альбина джанабаева